Nachträge zum Problem der Momente [Studie]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 45: Fasz.870

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[Greifswald], 22.09.1919. - 13 Bl.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Bll.1-6: Stieltjesintegral und seine Eigenschaften; Momente $Mk$ einer Belegung $\psi(x)$; Eigenschaften von $F(z) = \inta^{b} \frac{d \psi(x)}{z-x}$; der Fall unendlicher Grenzen (Hamburgersches Momentenproblem); Bestimmtheit von $\psi$ bei Existenz von $M0$ und von $F(z) = \int-\infty^{\infty} \frac{d \psi(x)}{z-x}$. Sind $Mn$ die Momente der Belegung $\psi$ und $M f(x) = \int-\infty^{\infty} f(x)d \psi(x)$, so werden zwei Folgen von Polynomen definiert: \[ fn(x) = \frac{}{Dn-1} \] und $gn(y) = M \frac{fn(y) - fn(x)}{y-x}$, dabei ist $Dn-1$ die Hankelsche Determinante der Reihenzahl $n-1$ der Momente $Mk$. Es folgen die Konvergenzsätze von Markoff für das endliche Intervall ($\psi(x) = const.$ außerhalb $(a,b)$) und von O.Szász für das unendliche Intervall (Math.Ann.76 (1915), S.301-314). Es geht bei den Konvergenzsätzen um die Konvergenz von $\frac{gn(z)}{fn(z)} \rightarrow F(z)$ unter gewissen Voraussetzungen für jedes $z \not \in [a,b]$ (Markoff) bzw. jedes $z \not \in (-\infty, \infty)$ (Szász). Es folgt ein Kriterium von Hamburger für die Bestimmtheit von $F(z)$ und damit des Momentenproblems. Bll.7-10: Beispiele von Stieltjes und Bernstein dafür, daß $\psi(x)$ durch die Momente nicht immer eindeutig bestimmt ist; Referierung von Stieltjes' ursprünglicher Lösung des Momentenproblems für das Intervall $(0, \infty)$ über Kettenbrüche. Bll.11-13: der Fall nur endlich vieler Wachstumsstellen von $\psi$; Konstruktion eines unbestimmten Problems, nämlich eines solchen $\psi$, für das $\frac{g2n}{f2n}$ und $\frac{gf_{2n+1}$ nach zwei verschiedenen $F1(z), F2(z)$ konvergieren.

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Vgl.Bem.bei Fasz.867. Auf Bl.4v u.Bl.6 obige Datierungen. Das Ms.ist bogenweise numeriert: 1-3, entspr.Bll.1-13. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2709494, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2709494

Erfassung: 20. Januar 1995 ; Modifikation: 18. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2025-09-19T16:34:24+01:00

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